Wurzeln

Wurzeln ziehen

Die Quadratwurzel

Wurzelziehen ist quasi die Umkehrung des Potenzierens.Die prominenteste Wurzel ist die Quadratwurzel, d.h. die Umkehrung des Quadrierens. Da beispielsweise $3^2 = 9$ ist, kann man umgekehrt $\sqrt{9}=3$ schreiben. Allgemein bedeutet

$a^2=w$

das Gleiche wie

$a=\sqrt{w}$.

Oder zusammengefasst

$\sqrt{a^2}=a$

Die n-te Wurzel

Es gibt allerdings noch andere Wurzeln ausser der Quadratwurzel. Die n-te Wurzel wird dann eingesetzt, wenn das Potenzieren mit n rückgängig gemacht werden soll:

$\sqrt[n]{a^n}=a$

Damit gilt:

$x = \sqrt[n]{a} \,\,\Leftrightarrow\,\, x^n = a$

So gesehen ist die Quadratwurzel gleich der 2-ten Wurzel, was man aber normalerweise nicht speziell erwähnen muss und darum auch oft nicht schreibt

$\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$

Potenzschreibweise für Wurzeln

Man kann Wurzeln auch als Potenzen schreiben. Nämlich indem man als Exponenten den entsprechenden Reziprokwert schreibt. Statt $\sqrt[2]{7}$ kann man auch $7^{\frac12}$ schreiben. Oder allgemeiner:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Dank der Potenzschreibweise der Wurzel können nun auch "negative Wurzeln" gezogen werden, also z.B. die -n-te Wurzel:

$a^{-\frac{1}{n}}$

Dies ist nichts anderes als die n-te Wurzel von $\,\frac{1}{a}$:

$a^{-\frac{1}{n}} = (a^{-1})^{1/n} = (\frac{1}{a})^{1/n}=\sqrt[n]{\frac{1}{a}}$

Zum Mitrechnen:

Nachdem man eine Wurzel in dieser Weise in eine Potenz umgewandelt hat, kann man alle Regeln darauf anwenden, die für Potenzen gelten.

Vorzeichen

Beim Wurzelziehen müssen Sie auf das Vorzeichen aufpassen. Teilweise gibt es zwei Lösungen. 9 hat z.B. zwei Wurzeln, +3 und -3, denn -3 gibt im Quadrat genau so 9 wie 3 im Quadrat! Das vollständige Resultat der Rechnung

$\sqrt{9}=?$

ist also: Lösung 1 = +3, Lösung 2 = -3

Keine Lösung hat dagegen die Rechnung

denn es gibt keine Zahl, die beim Quadrieren -9 gibt!

Entsprechendes gilt für alle geradzahligen Wurzeln (also 2.,4.,6. Wurzel etc.).

Bei ungeradzahligen Wurzeln sind die Vorzeichenverhältnisse anders als bei geradzahligen. Z.B. hat

sehr wohl eine Lösung, nämlich -2; denn (-2)³ = -8. Dafür gibt es bei ungeradzahligen Wurzeln immer nur eine Lösung. Das Vorzeichen ist nach dem Wurzelziehen immer das gleiche wie vor dem Wurzelziehen.

$\sqrt{49}=\pm 7$

$\sqrt[3]{27} = 3$ (denn: 3³=27)

$32^{-\frac{1}{5}} = (\frac{1}{32})^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{2}$

=> Aufgaben zum Thema

=> weiter zum Rechnen mit Wurzeln