Rechenregeln für Wurzeln

Für den Umgang mit Wurzeln gibt es wieder Rechenregeln, die man unbedingt beherrschen muss. Es sind eigentlich nur einfach die Rechenregeln für Potenzen in Wurzelschreibweise - Sie haben ja gesehen, dass man Wurzeln auch als Potenzen auffassen kann.


Regel 1: Aus einem Produkt zieht man die (n-te) Wurzel, indem man aus jedem Faktor separat die Wurzel zieht, also z.B.:

\sqrt[5]{4\cdot 7}= \sqrt[5]{4}\cdot {\sqrt[5]{7}

Allgemein:

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}


Regel 2: Die (n-te) Wurzel aus einem Bruch zieht man, indem man aus dem Zähler und aus dem Nenner separat die Wurzel zieht, also z.B.:

\sqrt[5]{\frac{4}{7}} = \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{7}}

Allgemein:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}


Regel 3: Wird eine Wurzel potenziert oder aus einer Potenz die Wurzel gezogen, so kann man die beiden Operationen vertauschen. Z.B.:

\left(\sqrt[5]{3}\right)^7 = \sqrt[5]{3^7}

Allgemein:

\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}


Regel 4: Wird zuerst die m-te Wurzel gezogen und daraus anschliessend noch einmal die (n-te) Wurzel, so kann man dies auch in einem Schritt machen, mit der m·n-ten Wurzel:

\sqrt[4]{\sqrt[5]{3}}=\sqrt[20]{3}

Allgemein:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}


Regel 5: Potenzen, deren Exponent ein Bruch ist, können als Potenz einer Wurzel (oder Wurzel einer Potenz) aufgefasst werden:

a^{k/l} = \sqrt[l]{a^k} = \left(\sqrt[l]{a}\right)^k

Beispielsweise:

8^{0.6}=8^{3/5} = \sqrt[5]{8^3}



Beispiele

\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}

\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6

\underbrace{b}_{\sqrt[3]{b^3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{b}} = {\sqrt[3]{b^3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{b}}= \sqrt[3]{\frac{b^3}{b}} = \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3}

Das Letzte noch vorgerechnet:


=> Aufgaben zum Thema

=> gemischte Aufgaben (Raum 4)

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Zuletzt geändert: Dienstag, 13. Februar 2024, 13:32