Rechenregeln für Wurzeln
Für den Umgang mit Wurzeln gibt es wieder Rechenregeln, die man unbedingt beherrschen muss. Es sind eigentlich nur einfach die Rechenregeln für Potenzen in Wurzelschreibweise - Sie haben ja gesehen, dass man Wurzeln auch als Potenzen auffassen kann.
Regel 1: Aus einem Produkt zieht man die (n-te) Wurzel, indem man aus jedem Faktor separat die Wurzel zieht, also z.B.:
![\sqrt[5]{4\cdot 7}= \sqrt[5]{4}\cdot {\sqrt[5]{7}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/ad752796b170e41f58d36e00761104d4.png "\sqrt[5]{4\cdot 7}= \sqrt[5]{4}\cdot {\sqrt[5]{7}")
Allgemein:
![\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/908bc48d27f7d11584d369d45ae40d5a.png "\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}")
Regel 2: Die (n-te) Wurzel aus einem Bruch zieht man, indem man aus dem Zähler und aus dem Nenner separat die Wurzel zieht, also z.B.:
![\sqrt[5]{\frac{4}{7}} = \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{7}}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/79bb232e0b5a58a95fbcb507f3e5e00f.png "\sqrt[5]{\frac{4}{7}} = \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{7}}")
Allgemein:
![\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/7a922c3446debb68c0d058dbbdbc1a74.png "\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}")
Regel 3: Wird eine Wurzel potenziert oder aus einer Potenz die Wurzel gezogen, so kann man die beiden Operationen vertauschen. Z.B.:
![\left(\sqrt[5]{3}\right)^7 = \sqrt[5]{3^7}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/481ea5208c11b409283e65c01cfc1418.png "\left(\sqrt[5]{3}\right)^7 = \sqrt[5]{3^7}")
Allgemein:
![\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/c3ce5d0debb201ca8ba3973ceed3d25d.png "\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}")
Regel 4: Wird zuerst die m-te Wurzel gezogen und daraus anschliessend noch einmal die (n-te) Wurzel, so kann man dies auch in einem Schritt machen, mit der m·n-ten Wurzel:
![\sqrt[4]{\sqrt[5]{3}}=\sqrt[20]{3}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/11352b80c42ecab1f9e2c87a56c1afaf.png "\sqrt[4]{\sqrt[5]{3}}=\sqrt[20]{3}")
Allgemein:
![\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/4eadf8a80885814879b4007bbd7452f0.png "\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}")
Regel 5: Potenzen, deren Exponent ein Bruch ist, können als Potenz einer Wurzel (oder Wurzel einer Potenz) aufgefasst werden:
![a^{k/l} = \sqrt[l]{a^k} = \left(\sqrt[l]{a}\right)^k](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/b31011b57fe9df84fdb7cf89a652a773.png "a^{k/l} = \sqrt[l]{a^k} = \left(\sqrt[l]{a}\right)^k")
Beispielsweise:
![8^{0.6}=8^{3/5} = \sqrt[5]{8^3}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/9ca0ca49c4dccb1d22413c71b1d39022.png "8^{0.6}=8^{3/5} = \sqrt[5]{8^3}")
Beispiele
![\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/a2979cb68857ebab8dea268100335be3.png "\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}")
![\underbrace{b}_{\sqrt[3]{b^3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{b}} = {\sqrt[3]{b^3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{b}}= \sqrt[3]{\frac{b^3}{b}} = \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3}](https://moodle.zhaw.ch/filter/tex/pix.php/0963479ca94d1bd9df3d812fb9ca18a5.png "\underbrace{b}_{\sqrt[3]{b^3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{b}} = {\sqrt[3]{b^3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{b}}= \sqrt[3]{\frac{b^3}{b}} = \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3}")
Das Letzte noch vorgerechnet:
=> gemischte Aufgaben (Raum 4)
=> weiter zu "Umgang mit dem Taschenrechner (Potenzen und Wurzeln)"