Bruch durch Bruch

Die Division von Brüchen ist relativ einfach auszuführen, wenn man deren Multiplikation beherrscht: Einfach beim Divisor (demjenigen Bruch, durch den geteilt wird) Zähler und Nenner vertauschen und dann multiplizieren.

Beispiele:

\frac{2}{3} : \frac{5}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{11}{5} = \frac{22}{15}

Mit Variablen:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

Doppelbrüche

Die Division zweier Brüche kann man selber auch wieder als Bruch schreiben. Das ist dann ein Doppelbruch:


  \frac{a}{b} : \frac{c}{d}
  = \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}


  \frac{2}{3} : \frac{5}{11}
  = \dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{11}}

Man kann das bisherige so zusammenfassen:


  \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}
  = \frac{a}{b} : \frac{c}{d}
  = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Da ein Bruch selber eine Division darstellt, kann man auch schreiben:


  \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}
  = (a : b) : (c : d)


  \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{11}}
  = (2 : 3) : (5 : 11)


Beispiel 1


  \dfrac{\frac{6m}{5n}}{\frac{18a}{10n}}
  = \frac{6m}{5n} \cdot \frac{10n}{18a}
  = \frac{60mn}{90an}
  = \frac{2m}{3a}

(im letzten Schritt wurde mit 30n gekürzt). Das ganze noch vorgerechnet:


Beispiel 2


  \dfrac{\frac{144abx}{3c}}{\frac{12ax}{1}}
  = \frac{144abx}{3c} \cdot \frac{1}{12ax}
  = \frac{144abx}{36 ax}
  = 4b

(im letzten Schritt wurde mit 36ax gekürzt)


Beispiel 3

Hier werden zuerst Zähler und Nenner separat umgeformt (gleichnamig gemacht) und am Ende wird mit b(b+1) gekürzt:


  \dfrac{a+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{b}}
  = \dfrac{\frac{ab+a}{b}}{\frac{b+1}{b}}
  = \frac{ab+a}{b} \cdot \frac{b}{b+1}
  = \frac{(ab+a)b}{b(b+1)}
  = \frac{a (b+1) b}{b (b+1)}
  = a


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=> gemischte Aufgabenserien (Raum 3)

Modifié le: mardi 13 février 2024, 13:28