Wie löst man quadratische Gleichungen?

Lösen quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind bereits ein Stück aufwändiger zu lösen als ihre linearen Kollegen. Je nach dem hat eine quadratische Gleichunge keine, eine oder zwei Lösungen. Es kann also durchaus vorkommen, dass die Gleichung keine Lösung hat. Dies bedeutet einfach, dass es dann keine relle Zahl gibt, die man für x einsetzen könnte, damit die Gleichung erfüllt ist.

Schauen wir uns nun die Lösungsformel für quadratische Gleichungen an. Eine solche Gleichung muss immer zuerst in ihre allgemeine Form gebracht werden:

$ax^2 + bx + c = 0$

Mit dieser Schreibweise werdenwerden die zwei möglichen Lösungen wie folgt berechnet:

$x_1=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_2=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ob es 2, 1 oder 0 Lösungen gibt, entscheidet sich anhand des Ausdruckes unter der Wurzel, der sogenannten Diskriminante $D=b^2-4ac$. Nun können drei Fälle eintreten:

• $D>0$, so gibt es 2 verschiedene Lösungen.
• $D=0$, so gibt es genau 1 Lösung.
• $D$, so gibt es keine Lösung (weil wir keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen dürfen!).

Es kann auch vorkommen, dass in einer quadratischen Gleichung in der allgemeinen Form einer der Koeffizienten b oder c = 0 ist. Dann kann die Gleichung ohne die Benutzung der komplizierten Lösungsformel aufgelöst werden. Schauen wir uns diese Fälle einmal an:

b=0:

Die Gleichung sieht dann so aus:

$ax^2 + c = 0$

Eine kurze Umformung führt zu

$x^2 = -\frac{c}{a}$

$\Rightarrow$ $x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$

Diese Gleichung hat also nur Lösungen, wenn $-\frac{c}{a}>0$ ist, da sonst ein negativer Ausdruck unter der Wurzel steht!

Beispiel: $3x^2-5=0$

$\Rightarrow$ $a=3, c=-5,$

$\Rightarrow$ $x_1=\sqrt{\frac{5}{3}}, x_2=-\sqrt{\frac{5}{3}}$

c=0:

Die Gleichung sieht dann so aus:

$ax^2 + bx = 0$

Hier kann man zunächst $x$ ausklammern:

$x(ax + b)=0$

und man sieht sofort, dass $x=0$ eine Lösung ist (dann wird die Gleichung nämlich zu $0=0$, was sicher eine richtige Aussage ist).

Für die 2. Lösung schaut man was passiert, wenn $x\neq 0$ wäre. Dann darf man ja auf beiden Seiten mit $x$ dividieren und es bleibt die lineare Gleichung

$ax + b=0$

übrig. Auflösen führt zu

$x=-\frac{b}{a}$

Beispiel: $4x^2 + 5x =0$ $\Rightarrow$ $x(4x + 5) =0$ und $x_1=0$ ist eine Lösung. Im anderen Fall $x\neq 0$ dividieren wir durch $x$ und erhalten

$4x+5=0$ $\Rightarrow$ $x=-\frac{5}{4}$.

Vorgerechnet:

Beispiel 1 (2 Lösungen):

$x^2 + 4x-5=0$

Hier ist a=1, b=4, c=-5. In die Lösungsformel eingesetzt erhält man die beiden Lösungen

$x_1=\frac{-4 + \sqrt{16-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}=\frac{-4 + \sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4+6}{2} = 1$

$x_2=\frac{-4 - \sqrt{16-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}=\frac{-4 - \sqrt{16+20}}{2} = \frac{-4-6}{2}=-5$

Beispiel 2 (1 Lösung):

$x^2 + 4x+4=0$

Hier ist a=1, b=4, c=4. Berechnen wir zuerst den Wert der Diskriminante:

$D=b^2-4ac=16-16=0$

Da sich die beiden Lösungen x₁ und x₂ nur in der Diskriminante unterscheiden (einemal wird im Zähler $+\sqrt{b^2-4ac}$ und einmal $-\sqrt{b^2-4ac}$ gerechnet), ist x₁=x₂, d.h. es gibt nur eine Lösung:

$x_1=x_2=\frac{-4 - \sqrt{0}}{2}=\frac{-4}{2} =-2$

Beispiel 3 (keine Lösung):

$x^2+2x+3=0$

Hier ist a=1, b=2, c=3. Berechnen wir zuerst wieder den Wert der Diskriminante:

$D=b^2-4ac=4-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8$

Von diesem Ausdruck wird in der Lösungsformel die Wurzel gezogen. Wir wissen aber (siehe Wurzeln), dass die Wurzel einer negativen Zahl keine relle Lösung besitzt. Somit kann keine Lösung berechnet werden und die Gleichung ist unlösbar.

(Bemerkung: die Unlösbarkeit dieser Gleichung gilt im Ihnen bekannten Zahlenraum. Die Mathematiker haben sogenannte "imaginäre Zahlen" erfunden, in denen die Gleichng eine Lösung hätte. Das muss Sie hier aber nicht weiter kümmern - für uns ist die Gleichung unlösbar.)

Beispiel 4

Nachfolgend wird die Gleichung $x^2+4x=-7-4x$ vorgelöst:

=> Aufgaben zum Thema

=> Aufgaben zum Thema (2)