Das Rechnen mit Potenzen

Für den Umgang mit Potenzen gibt es mehrere Rechenregeln, die alles vereinfachen, die man aber auch entsprechend beherrschen muss.

Regel 1: Werden Potenzen mit gleicher Basis miteinander multipliziert, so darf man die Exponenten zusammenzählen. Beispiele:

663 = 65

aa5 = a7

Allgemein:

aan = am+n

Rechnen wir das am obigen Beispiel nochmals nach:


Regel 2:Werden Potenzen mit gleichem Exponenten miteinander multipliziert, so darf man die Basen miteinander multiplizieren. Beispiele:

32·52 = (3·5)2 = (15)2

a4·b4 = (ab)4

Allgemein:

an·bn = (ab)n

Rechnen wir das am obigen Beispiel nochmals nach:


Regel 3: Werden Potenzen mit gleicher Basis durcheinander dividiert, so darf man die Exponenten voneinander subtrahieren (Exponenten des Zählers minus Exponent des Nenners). Beispiele:

\frac{3^5}{3^2} = \frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3} = 3^3

Allgemein:

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}


Regel 4: Werden Potenzen mit gleichem Exponenten durcheinander dividiert, so darf man den Exponenten auf den Quotient der Basen anwenden:

\frac{5^3}{11^3}=\left(\frac{5}{11}\right)^3

Allgemein:

\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n


Regel 5: Wird eine Potenz noch einmal potenziert, so werden die Exponenten miteinander multipliziert:

(3^2)^4 = 3^{2\cdot 4} = 3^{8}

Allgemein:

(a^n)^m = a^{n\cdot m}

Rechnen wir das nochmals nach:


Der Vollständigkeit halber notieren wir an dieser Stelle noch einmal die Regeln, die Sie schon von der Einführung der Potenzen her kennen:

Regel 6: ein Minuszeichen im Exponenten heisst, dass die Basis durch ihren Kehrwert ersetzt werden soll:

a^{-b}=\left(\frac{1}{a}\right)^b

Regel 7: 0 im Exponenten bedeutet, dass die Potenz gleich 1 ist:

a0 = 1

Regel 8: 1 im Exponenten bedeutet, dass die Potenz gleich der Basis ist:

a1 = a

Beispiele

a^3\cdot a^4 = a^7

3^2\cdot 3^3 \cdot 3= 3^6 (Achtung: 3 gilt als 31. Dies gilt immer: a=a1)

(\frac{2a^3}{3b^2})^5 = \frac{(2a^3)^5}{(3b^2)^5} = \frac{32a^{15}}{243b^{10}} (die Potenz 5 gilt auf Zähler und Nenner separat und zudem auf jeden Faktor des Zählers und Nenners.)

(2a^3x^4a)^3 = (2a^4x^4)^3 = 2^3a^{12}x^{12} = 8 (ax)^{12}


=> leichte und schwere Aufgaben zum Thema

=> noch mehr Übungen

=> weiter zu "Wurzeln"

Última modificación: miércoles, 18 de julio de 2012, 15:58