Bruch durch Bruch

Die Division von Brüchen ist relativ einfach auszuführen, wenn man deren Multiplikation beherrscht: Einfach beim Divisor (demjenigen Bruch, durch den geteilt wird) Zähler und Nenner vertauschen und dann multiplizieren.

Beispiele:

\frac{2}{3}\,:\,\color{red}{\frac{5}{11}}  = \frac{2}{3}\,\cdot\, \color{red}{\frac{11}{5}} =\frac{22}{15}

Mit Variablen:

\frac{a}{b} \,: \, \color{red}{\frac{c}{d}} =\frac{a}{b} \,\cdot \color{red}{\frac{d}{c}} =\frac{ad}{bc}

Doppelbrüche

Die Division zweier Brüche kann man selber auch wieder als Bruch schreiben. Das ist dann ein Doppelbruch:

\begin{equation}\frac{a}{b} \,: \,\frac{c}{d}=\frac{\qquad\frac{a}{b}\qquad}{\qquad\frac{c}{d}\qquad}\end{equation}

\frac{2}{3}\,:\,\frac{5}{11}=\frac{\qquad\frac{2}{3}\qquad}{\qquad\frac{5}{11}\qquad}

Man kann das bisherige so zusammenfassen:

\frac{\qquad\frac{a}{b}\qquad}{\qquad\frac{c}{d}\qquad}=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}

Da ein Bruch selber eine Division darstellt, kann man auch schreiben:

\begin{equation}\frac{\qquad\frac{a}{b}\qquad}{\qquad\frac{c}{d}\qquad} =(a:b) \,: \, (c:d)\end{equation}

\frac{\qquad\frac{2}{3}\qquad}{\qquad\frac{5}{11}\qquad}=(2:3)\,:\,(5:11)


Beispiel 1

\frac{\qquad\frac{6m}{5n}\qquad}{\qquad\frac{18a}{10n}\qquad}=\frac{6m}{5n}\cdot\frac{10n}{18a} = \frac{60mn}{90an} = \frac{2m}{3a} (im letzten Schritt wurde mit 30n gekürzt). Das ganze noch vorgerechnet:


Beispiel 2

\frac{\qquad\frac{144abx}{3c}\qquad}{\qquad\frac{12ax}{1}\qquad} = \frac{144abx}{3c}\cdot\frac{1}{12ax}=\frac{144abx}{36 ax} = 4b (im letzten Schritt wurde mit 36ax gekürzt)


Beispiel 3

Hier werden zuerst Zähler und Nenner separat umgeformt (gleichnamig gemacht) und am Ende wird mit b·(b+1) gekürzt:

\frac{\qquad a+\frac{a}{b}\qquad}{\qquad 1+\frac{1}{b}\qquad}=\frac{\qquad\frac{ab+a}{b}\qquad}{\qquad\frac{b+1}{b}\qquad}=\frac{(ab+a)}{b}\cdot \frac{b}{(b+1)}=\frac{(ab+a)b}{b(b+1)}= \frac{a (b+1) b}{b (b+1)}= a


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=> gemischte Aufgabenserien (Raum 3)

Last modified: Wednesday, 18 July 2012, 3:58 PM