Die Addition (+) und die Subtraktion (-) von Brüchen

Brüche korrekt addieren oder subtrahieren kann man nur, wenn man das Erweitern beherrscht. Man muss dazu nämlich die zu addierenden / zu subtrahierenden Brüche so erweitern, dass ihre Nenner identisch sind. Man nennt dies "gleichnamig" oder "gleichnennrig" Machen. Dieser Nenner ist dann auch der Nenner der Summe / der Differenz. Der Zähler der Differenz ist die Summe / die Differenz der gleichnamig gemachten Brüche.

Ein Beispiel mit Zahlen:

\frac{2}{3}+\frac{7}{8} = \frac{2}{3} \red\cdot\frac{8}{8} +\frac{7}{8} \red\cdot\frac{3}{3} = \frac{16}{24}+\frac{21}{24} = \frac{16+21}{24} = \frac{35}{24}

Der erste Bruch wird also mit 8 erweitert und der zweite mit 3. Damit erreicht man, dass beide Nenner am Ende =24 sind.

Machen wir das Gleiche mit Variablen:

\underbrace{\frac{a}{b}}_{\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{d}}+\underbrace{\frac{c}{d}}_{\frac{c}{d}\cdot \frac{b}{b}}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{bd} = \frac{ad+cb}{bd}

Der erste Bruch wird also mit dem Nenner des zweiten Bruches erweitert und umgekehrt. So funktioniert das gleichnamig machen immer, aber manchmal ist es nicht der bequemste Weg.


Beispiele

\frac{(a+b)}{(x+y)}-\frac{c}{d} = \frac{(a+b)}{(x+y)} \red\cdot\frac{d}{d} - \frac{c}{d} \red\cdot\frac{(x+y)}{(x+y)} = \frac{d(a+b)-c(x+y)}{d(x+y)}

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f} = \frac{adf}{bdf}+ \frac{cbf}{bdf}+ \frac{ebd}{bdf} = \frac{adf + cbf + ebd}{bdf}

Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner. Beispielsweise reicht es im folgenden Beispiel, den ersten Bruch mit 2 zu erweitern:

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \red\cdot\frac{2}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} =\frac{3}{4}

Im folgenden Fall ist der kleinste gemeinsame Nenner 12 (Erweitern mit 6, 4 und 3):

\frac{1}{2}-\frac{2}{3} +\frac{3}{4} = \frac{6}{12}-\frac{8}{12}+\frac{9}{12}= \frac{7}{12}

Und nachfolgend ist der kleinste gemeinsame Nenner 18:


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Last modified: Friday, 3 October 2014, 9:27 PM