Theorie Wärmespeicher

Trapezkünstlerin

Trapeznummer
In einer bekannten Zirkusnummer lässt ein am Trapez hängender Artist seine Partnerin mit hoher Geschwindigkeit rotieren, d.h. die Artistin bildet einen Speicher für die mengenartige Grösse Drehimpuls.

Zu Beginn der Nummer führt der Artist seiner Partnerin mit beiden Händen Drehimpuls zu. Das leicht verdrehte Trapez weist auf den von der Decke her zuströmenden Drehimpuls hin. Die Artistin steigert danach ihre Drehzahl weiter, indem sie die Arme einzieht. Mit der Drehzahl nimmt auch ihre Rotationsenergie zu. Streckt sie ihre Arme wieder aus, rotiert sie weniger stark. Dabei bleibt der Drehimpuls erhalten und die Energie nimmt ab.
Trapeznummer Flüssigkeitsbild
Mechanische Vorgänge lassen sich oft im Flüssigkeitsbild darstellen. In diesem Bild erscheint der Drehimpuls als Flüssigkeit und die einzelnen Körper als Töpfe mit dem Trägheitsmoment als Grundfläche und der Winkelgeschwindigkeit als Füllhöhe.

In der ersten Phase pumpt der Artist Drehimpuls in seine Partnerin hinein. Den Drehimpuls entzieht er der Umgebung (letztendlich der Erde); die dazu notwendige Energie hat er selber aufzubringen. In der zweiten Phase "quetscht" die Artistin ihren Drehimpulsinhalt hoch, d.h. der Drehimpuls bleibt bei zunehmender Drehzahl erhalten. Die zusätzliche Energie hat die Artistin selber aufzubringen.

Die Trapezkünstlerin bildet ein System, in dem Energie umgeladen wird. Die Rotationsenergie ist deshalb nicht gleich der Arbeit des einwirkenden Drehmoments. Die Artistin kann die Rotationsenergie ohne Einwirkung eines Drehmoments vergrössern (Arme anziehen) oder verkleinern (Arme seitlich ausstrecken).

Rotierende Körper, die ihre Drehzahl bei ungefähr konstanter Drehzahl durch das radiale Verschieben von Masse ändern, findet man im Sport und im Tierreich. Beispiele sind
  • die Pirouette im Eiskunstlauf
  • die Katze, die immer auf die Füsse fällt
Modell: Nachfolgend das Systemdiagramm (flowchart) und die Gleichungen des systemdynamischen Modells der Artistin.
Trapezkünstlerin Systemdiagramm
{Reservoirs}
d/dt (L) = + M - Mr
INIT L = 0 {kg*m^2/s}
d/dt (phi) = + omega
INIT phi = 0 {rad}

{Flows}
M = M0* SQUAREPULSE(0, Drehzeit) {Nm}
Mr = 1/2* cw * Armradius^3 * Armquerschnittsflaeche * abs(w) * w {Nm}
omega = L/Jges {1/s}

{Functions}
JArmeVar = 0.4 * cos(2* pi/Armschwingzeit * TIME) + 0.6
Jges = JRumpfBeine+ JArmeVar {kg*m^2}
Frequenz = omega/(2*pi) {1/s}
Wrot = 1/2*Jges*omega^2 {J}
cw = 1.3
M0 = 40 {Nm}
phiMod = mod(phi,(2*pi))
Drehzeit = 1 {s}
Mges = M-Mr
JRumpfBeine = 0.6 {kg*m^2}
Armschwingzeit = 10 {s}
Armradius = 0.15 * cos(2*pi/Armschwingzeit * TIME) + 0.35 {m}
Armquerschnittsflaeche = 0.1*0.6 {m^2}


Simulation: Das erste Diagramm zeigt den Verlauf des resultierenden Drehmoments (rote Kurve). Das total einwirkende Drehmoment, das gleich der Änderungsrate des Drehimpulses ist, ergibt sich aus der Einwirkung ihres Partners und dem Luftwiderstand. Die schwarze Kurve zeigt den Verlauf des Drehimpulses (Zeitintegral der roten Kurve). Das zweite Diagramm stellt den Verlauf des Trägheitsmoments (rote Kurve) und der Drehzahl (schwarze Kurve) in Funktion der Zeit dar.
Trapzekünstlerin Drehmoment Drehimpuls
Trapzekünstlerin Umdrehungsgeschwindigkeit Trägheitsmoment


Download des Modells: Trapezkünstlerin