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Theorie Wärmespeicher

In diesem Buch werden zuerst Speicher aus verschiedenen Gebieten der Physik behandelt. Im Gegensatz zu den linearen und nichtlinearen Elementarspeichern der Hydrodynamik, der Translationsmechanik, der Rotationsmechanik oder der Elektrodynamik weisen die thermodynamischen Speicher zwei mengenartige Grössen (Entropie und Volumen) und zwei Potenziale auf. Wer sich nur für den thermodynamischen Speicher interessiert, öffne direkt das letzte Kapitel in diesem Buch, das den Wärmespeicher behandelt.

Site: Moodle Lernplattform der ZHAW
Course: Thermodynamik (maur)
Book: Theorie Wärmespeicher
Printed by: Guest user
Date: Friday, 19 July 2019, 11:15 PM
Elementarspeicher

Elementarspeicher
Die Grössen Masse, Volumen, elektrische Ladung, Impuls, Drehimpuls, Entropie und Stoffmenge sind speicherbar (bilanzierfähig oder mengenartig). Nimmt ein System nur eine dieser Mengen auf, sprechen wir von einem Elementarspeicher.

Die von einem einzelnen Strom mitgeführte Energie ist über das Potenzial mit der transportierten Menge verknüpft:
Diese Zuordnung überträgt sich auf den Speicher. Deshalb hängt das Potenzial eines Elementarspeichers nur von der Menge im Speicher ab. Folglich ist die gespeicherte Energie eine Funktion der Menge oder des davon abhängigen Potenzials

W=f(M) oder W=f(\varphi_M)


Beispiele von Elementarspeichern:

System
Menge
Potenzial
Stausee
Masse
Gravitationspotenzial (gh)
Blasenspeicher
Volumen
Druck
isolierte Metallkugel
elektrische Ladung
elektrisches Potenzial
Rangierlok
Impuls
Geschwindigkeit
Schwungrad
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
Wärmespeicher
Entropie
absolute Temperatur

Ein offenes System darf immer dann als Elementarspeicher behandelt werden, wenn eine der Mengen die Rolle einer Führungsgrösse übernimmt (Masse beim Stausee, Volumen beim Blasenspeicher).

Stausee

Stausee

Die Massenbilanz bildet das zentrale Element des systemdynamischen Modells eines Stausees

\sum I_m=\dot m

Ein Stausee speichert Wasser und Energie. Weil die Energie zusammen mit der Masse des Wasser zu- und abgeführt wird, kann ein Stausee als Elementarspeicher für die Grösse Masse angesehen werden. Die Masse des gespeicherten Wasser hängt von der Füllhöhe und der Geometrie des Sees ab (Fläche in Funktion der Höhe)


Um aus der gespeicherten Masse die aktuelle Höhe berechnen zu können, muss die Funktion h(m) bekannt sein. Dieser Zusammenhang ist nun gerade die Umkehrfunktion der oben beschriebenen Abhängigkeit m{h}.

Multipliziert man die aktuelle Höhe mit der Gravitationsfeldstärke, erhält man das Gravitationspotenzial. Dieses Gravitationspotenzial ordnet dem Massenstrom einen Energiestrom zu

I_W=\varphi_G I_m=ghI_m


Blasenspeicher

Petflaschen
Eine auf dem Kopf stehende PET-Flasche werde mit Wasser gefüllt. Das von unten durch die Öffnung in die Flasche eintretende Wasser presst das vorhandene Luftvolumen zusammen. Dadurch wird in der Flasche ein Druck aufgebaut. Die PET-Flasche kann als Realmodell eines Blasenspeichers angesehen werden.

Das in der Flasche gespeicherte Volumen des Wassers (V) legt fest, wie viel Platz der Luftblase noch zur Verfügung steht. Der Druck in der Flasche ergibt sich direkt aus dem aktuell vorhandenen Luftvolumen (VLuft)

p = \frac{p_0V_0}{V_{Luft}}=\frac{p_0V_0}{V_0-V}

Diese Beziehung gilt, solange die Temperatur konstant bleibt. Das Wasser sollte also nicht zu schnell hinein oder heraus fliessen, weil sich sonst die Temperatur der Luft ändert.

Der Druck ordnet dem Massenstrom einen Energiestrom zu

I_W=pI_V

Beispiel: Zwei Petflaschen
Rangierlok

Impuls Rangierlok
Eine Rangierlok, die auf einem geraden Gleisabschnitt hin und her fährt, tauscht über die Schienen Impuls mit der Erde aus. Bewegt sich die Lok bezüglich einer willkürlich festgelegten Richtung vorwärts, ist ihr Impulsinhalt grösser Null. Bei der Rückwärtsfahrt weist sie einen Impulsmangel auf.

Das Bild zeigt zweimal das Anfahren eines Zuges. Die beiden Anordnungen unterscheiden sich durch den Weg, auf dem der Impuls in den Wagen gelangt. Einmal fliesst der Impuls über die Puffer in den vorgestellten und einmal durch die Zugvorrichtung in den angehängten Wagen.

Die Geschwindigkeit (Potenzial) nimmt proportional mit dem Impuls (bilanzierfähige Menge) zu. Der Proportionalitätsfaktor, die Impulskapazität, ist die träge Masse. Die momentane Geschwindigkeit eines Körpers ist deshalb gleich Impulsinhalt dividiert durch die Masse

v_x=\frac{p_x}{m}

Die Geschwindigkeit ordnet dem Impulsstrom einen Energiestrom zu

I_W=v_xI_{px}

oder in klassischer Darstellung als Leistung P der Kraft Fx

P(F_x)=v_xF_x

Ist die Geschwindigkeit grösser Null, fliessen Impuls und Energie in die gleiche Richtung. Bewegt sich der Impulsleiter (Seil, Kette, Stange) in negative Richtung, strömt die Energie gegen den Impuls.

Beispiel: Auflaufstoss
Schwungrad

Schwungrad
Ein Schwungrad beginnt sich zu drehen, sobald man Drehimpuls zuführt, sobald ein Drehimpulsstrom zufliesst. Die zugehörige Stromstärke heisst Drehmoment. Entzieht man dem ruhenden Schwungrad Drehimpuls, dreht es sich rückwärts.

Der Drehimpulsinhalt eines Schwungrades wächst proportional zur Winkelgeschwindigkeit. Der zugehörige Proportionalitätsfaktor heisst Massenträgheitsmoment. Demnach ist die Winkelgeschwindigkeit gleich Drehimpulsinhalt durch Massenträgheitsmoment

\omega_x=\frac{L_x}{J_x}

Die Winkelgeschwindigkeit ordnet dem Drehimpulsstrom einen Energiestrom zu

I_W=\omega_xI_{Lx}

oder in klassischer Darstellung als Leistung P eines Drehmoments Mx

P(M_x)=\omega_xM_x


Translation und Rotations bilden die beiden grundlegenden Bewegungsarten eines Körpers. Der Impuls bestimmt, wie schnell sich ein Körper relativ zu einem Bezugssystem bewegt, und der Drehimpuls legt die Drehzahl fest. Etwas präziser ausgedrückt, liefert der Quotient aus Impuls und Masse eines Körpers die Geschwindigkeit und der Quotient aus Drehimpuls und Massenträgheitsmoment die Winkelgeschwindigkeit. Träge Masse und Massenträgheitsmoment können deshalb als Impuls- bzw. Drehimpulskapazität bezeichnet werden.
SD-Modell

Stausee, Blasenspeicher, Rangierlok und Schwungrad sind Systeme, die mindestens eine mengenartige Grösse speichern können. Zur Simulation solcher Vorgänge liefert die Systemdynamik das optimale Werkzeug. Dazu setzt man in einem ersten Schritt einen Topf ins Systemdiagramm. Dieser Topf, der den Elementarspeicher markiert, wird über einen oder mehrere Zuflüsse gespiesen. Das zugehörige Potenzial hängt über das Speichergesetz vom Inhalt des Topfs ab. Das Potenzial kann wiederum Einfluss auf die Stärke der einzelnen Ströme nehmen.

SD-Modell
Die systemdynamischen Modelle der Elementarspeicher weisen eine einheitliche Struktur auf
  • die Bilanz der zu speichernden Menge bildet den Kern des Modells
  • das Potenzial berechnet sich mit Hilfe des Speichergesetzes aus dem momentanen Inhalt
  • das Potenzial kann die Stärke der zu- oder abfliessenden Ströme beeinflussen
Einfache Beispiele:

Hier nochmals ein Überblick über die vier besprochenen Elementarspeicher:

System
Menge
Potenzial
Speichergesetz
Stausee
Masse
g h
Funktion h(m)
Pet-Flasche
Volumen
Druck
Boyle-Mariotte
Rangierlok
Impuls
Geschwindigkeit
v=\frac pm
Schwungrad
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
 \omega=\frac LJ
Energie

Elementarspeicher
Energie kann nur zusammen mit einem Träger transportiert werden, d.h. die Energie muss von einer andern Menge ins System hinein gebracht oder aus diesem abgeführt werden. Die Stärke des Energiestromes lässt sich mit Hilfe des Potenzials berechnen: der zugeordnete Energiestrom ist gleich Potenzial mal Mengenstrom

I_W=\varphi_{Menge}I_{Menge}

Über diese Zuordnung kann der Energiegehalt eines Elementarspeichers berechnet werden.

Begriffe:
In der Systemphysik unterscheidet man zwischen gespeicherter und ausgetauschter Energie, wobei die Energie nur beim Austausch in Formen eingeteilt werden darf. Folgenden drei Begriffe sind in der Thermodynamik zentral:
  • innere Energie: die von einem ruhenden System gespeicherte Energie (Energieinhalt)
  • Wärme: die zusammen mit der Entropie über die Systemgrenze transportierte Energie
  • Arbeit: die zusammen mit dem Volumen, dem Impuls oder dem Drehimpuls über die Systemgrenze transportierte Energie
Gemäss diesen Definitionen kann weder Wärme noch Arbeit gespeichert werden. Zu beachten ist, dass wir in unserem Alltag mit Wärmemenge eher die Entropie als die Energie meinen.
Energietransport

Träger und Energie
Ein System kann Energie nur zusammen mit einem Träger austauschen, wobei das Potenzial den Energiestrom mit dem Trägerstrom verknüpft

I_W=\varphi_MI_M

Der Energiestrom wird in Watt oder Joule pro Sekunde gemessen. Dieser fundamentale Zusammenhang gilt in erster Linie für leitungsartige Ströme. Bei einem konvektiven Transport trifft diese Beziehung nur auf die Führungsgrösse (Masse bei Stausee, Volumen in der Hydraulik) zu.

Durch Integration des zugeordneten Energiestroms über die Zeit erhält man die transportierte Energie

W_{trans}=\int I_Wdt=\int \varphi_M I_M dt

Die transportierte Energie wie in Joule oder Wattsekunde gemessen.


System
Menge
Stromstärke
Einheit
Potenzial
Einheit
Stausee
Masse
Massenstrom
kg/s
Gravitationspotenzial
J/kg = m2/s2
PET-Flasche
Volumen
Volumenstrom
m3/s
Druck
Pa
Metallkugel
elektrische Ladung
elektrische Stromstärke
A
elektrisches Potenzial J/C = V
Rangierlok
Impuls
Kraft
N
Geschwindigkeit
m/s
Schwungrad
Drehimpuls
Drehmoment
Nm
Winkelgeschwindigkeit
1/s
Boiler
Entropie
Entropiestrom
W/K
Temperatur
K
lebende Zelle
Stoffmenge
Stoffmengenstrom
mol/s
chemisches Potenzial
J/K

gespeicherte Energie

Menge, Potenzial und Energie sind bei einem Elementarspeicher direkt miteinander verknüpft. Das eigentliche Speichergesetz, das der Menge ein Potenzial zuweist, kann als Kurve im Potenzial-Mengen-Diagramm dargestellt werden.

Zur Berechnung der gespeicherten Energie geht man von der zugehörigen Bilanz aus

\dot W=I_W

ersetzt dann den Energiestrom zuerst durch den Mengenstrom und dann über die Bilanzgleichung durch die Änderungsrate

\dot W=I_W=\varphi_M I_M=\varphi_M\dot M

Die statische Zuordnung zwischen der Änderung der Menge dM und der damit verbundenen Energie dW erhält man dann durch eine Multiplikation mit dem Zeitschritt dt

dW=\varphi_M dM

oder in aufintegrierter Form

W=\int dW=\int \varphi_M dM

Im Potenzial-Mengen-Diagramm erscheint die zusammen mit einer infinitesimal kleinen Menge gespeicherte Energie als beliebig schmales Rechteck mit der Grundlinie dM und des aktuellen Potenzials als Höhe. Die total aufgenommene Energie entspricht folglich der Fläche unter der Potenzial-Mengen-Kurve.
Energie im p-V-Diagramm
Im Druck-Volumen-Diagramm ist die Arbeit als Fläche unter der Kurve zu erkennen. Dies gilt aber nur, falls das System während der Prozessführung homogen bleibt.


System
Menge
Potenzial
Diagramm
Stausee
Masse
Gravitationspotenzial (gh)
gh-Masse-Diagramm
Blasenspeicher
Volumen
Druck
Druck-Volumen-Diagramm
Metallkugel
elektrische Ladung
elektrisches Potenzial
Potenzial-Ladungs-Diagramm
Rangierlok
Impuls
Geschwindigkeit
Kraft-Weg-Diagramm
Schwungrad
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
Drehmoment-Winkel-Diagramm
Boiler
Entropie
Temperatur
Temperatur-Entropie-Diagramm


lineare Speicher

Lineare Speicher findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translations- und der Rotationsmechanik
  • Ein zylinderförmiges Gefäss ist ein linearer Speicher bezüglich der Masse oder des Volumens. Das Gravitationspotenzial an der Oberfläche der Flüssigkeit und der Druck am Boden des Gefässes nehmen proportional mit dem Inhalt zu.
  • Beim Kondensator steigt die Spannung linear mit seiner elektrischen Ladung bzw. linear mit der geflossenen Ladung.
  • Ein bewegter Körper ist ein linearer Dreifachspeicher: die drei Komponenten der Geschwindigkeit sind proportional zur zugehörigen Impulskomponente.
  • Ein um eine Hauptachse rotierender, starrer Körper verhält sich ebenfalls linear: seine Winkelgeschwindigkeit nimmt proportional zur gespeicherten Menge an Drehimpuls zu.
Bei linearen Speichern steigt die Energie quadratisch mit der Menge. Dies ist bei einem zylindrischen Gefäss (Querschnitt A) leicht zu überprüfen, gilt doch für die potentielle Energie bezüglich des Gefässbodens

W_G=mgh_{mittel}= \varrho g A \frac {h^2}{2}

Die Energie von Kondensatoren, bewegten Körpern und Schwungrädern wächst ebenfalls quadratisch mit der Menge oder dem Potenzial, weil Potenzial und Menge proportional zueinander sind. Dieser Zusammenhang kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden kann.

System
Menge
Kapazität
Energie
Kondensator
elektrische Ladung Q
Kapazität C
W=\frac C2 U^2= \frac {Q^2}{2C}
bewegter Körper
Impuls px
Masse m
W=\frac m2 v_x^2= \frac {p_x^2}{2m}
rotierender Körper
Drehimpuls Lx
Trägheitsmoment J
W=\frac J2 \omega_x^2= \frac {L_x^2}{2J}

nichtlineare Speicher

Stausee und PET-Flasche sind Beispiele nichtlinearer Speicher. Weder das Gravitationspotenzial des Seespiegels noch der Druck in der Flasche nehmen proportional mit der Masse bzw. dem Volumen zu.

Das Verhalten nichtlinearer Speicher lässt sich auf verschiedene Arten beschreiben
  • durch eine Potenzial-Mengen-Funktion (Beispiel: p-V-Diagramm eines Blasenspeichers)
  • durch eine Mengen-Potenzial-Kurve (Beispiel: m{h} für einen Staussee)
  • durch eine Kapazität-Potenzial-Funktion (Beispiel: Wärmespeicher mit CS(T))
Zur Modellierung benötigt man das Potenzial in Funktion der Menge (die Menge bestimmt das Potenzial und dieses beeinflusst die Stärke der Ströme) Ist die Menge in Abhängigkeit des Potenzials gegeben, muss zuerst die Umkehrfunktion gebildet werden. Kennt man nur die Kapazität als Funktion des Potenzials, ist diese zuerst über das Potenzial zu integrieren. Die so gewonnene Mengen-Potenzial-Beziehung muss dann wiederum invertiert werden.

Aus der Potenzial-Mengen-Funktion lässt sich auch die gespeicherte Energie berechnen. Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der Energie, die zusammen mit der Menge zu- oder abgeführt wird

W=\int\varphi(M)dM

Beispiel Harnblase

p-V-Diagramm einer Harnblase
Das Bild zeigt das Volumen-Druck-Diagramm einer normalen (A) und einer verhärteten (B) Harnblase. Die gemessenen Kurven zeigen je eine Hysterese, d.h. Füllen und Entleeren verlaufen unterschiedlich.

Die Steigung dieser Kurve, die Volumenzunahme pro Drucksteigerung, nennt man hydraulische Kapazität. Die gesunde Blase zeigt ein deutlich grössere Kapazität als die kranke. Zudem nimmt die Kapazität der verhärteten Harnblase mit dem Inhalt ab.

Die Fläche gegen die vertikale Achse (Ordinate) entspricht der aufzuwendenden Energie. Die von der Hysterese umrandete Fläche ergibt folglich die während eines vollständigen Füll- und Entleervorgangs dissipierte Energie. Damit man die Energie in Joule erhält, müssen Volumen und Druck in kohärente Einheiten umgerechnet werden

1 ml * 1 mmHg = 10-6 m3*133 Pa = 1.33 10-3 J


SD-Modell

Basismodell mit Energieebene
Das systemdynamische Modell ist durch die Energiebilanz zu ergänzen. Dazu bildet man eine zweite Bilanzebene für die Energie, welche die Struktur der Mengenbilanz aufnimmt. Damit die Zuordnung korrekt ist, müssen im Systemdiagramm (flowchart) die Röhren (flow) für die Energie- und für Mengenströme gleich gerichtet sein. Entweder zeigen Mengen- und Energiestrom in den Topf (reservoir) hinein oder aus diesem heraus.

Die Stärke eines jeden Energiestromes ergibt sich aus dem Mengenstrom durch Multiplikation mit dem zugehörigen Potenzial. Dieses Potenzial ist über das Speichergesetz aus der momentan gespeicherten Menge zu bestimmen.

Beachten Sie, dass die Energieströme an die Mengenströme gekoppelt sind und der Energieinhalt deshalb nur über differenziell kleine Änderungen aus der gespeicherten Menge berechnet werden kann.

Energiewandler

Energie kann von einem Träger auf einen zweiten umgeladen werden. Dazu muss der primäre Mengenstrom über eine Potenzialdifferenz fliessen und eine bestimmte Prozessleistung frei setzen. Diese Prozessleistung fördert dann einen sekundären Mengenstrom über die zugehörige Potenzialdifferenz. Im Idealfall, falls keine Entropie erzeugt wird, ist die vom treibenden Strom frei gesetzte Leistung gleich der vom getriebenen Strom aufgenommenen.

Wandler
Primärstrom
Potenzial
Sekundärstrom
Potenzial
Zahnradpumpe
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
Volumen
Druck
Hydraulikmotor
Volumen
Druck
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
Elektromotor
elektrische Ladung
elektrisches Potenzial
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
Generator
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit elektrische Ladung elektrisches Potenzial
Wasserkraftwerk
Masse
Gravitationspotenzial
elektrische Ladung
elektrisches Potenzial


Energie wird nicht nur durch Prozesskopplung übertragen, Energie kann auch im Innern eines Speichers von einer Menge auf die andere umgeladen werden. Solche Speicher weisen in der Regel zwei Anschlüsse (Ports) auf, einen für jede Menge. Nachfolgend drei Beispiele zur Speicherkopplung. Im ersten Beispiel wird nur Drehimpuls ausgetauscht. Die Kopplung erfolgt über die Veränderung des Massenträgheitsmoments. Im zweiten Beispiel koppeln Volumen und Ladung in einem Kondensator. Erst das dritte Beispiel, der Carnotor, entstammt der Thermodynamik. Im Carnotor koppeln Volumen und Entropie.
Trapezkünstlerin

Trapeznummer
In einer bekannten Zirkusnummer lässt ein am Trapez hängender Artist seine Partnerin mit hoher Geschwindigkeit rotieren, d.h. die Artistin bildet einen Speicher für die mengenartige Grösse Drehimpuls.

Zu Beginn der Nummer führt der Artist seiner Partnerin mit beiden Händen Drehimpuls zu. Das leicht verdrehte Trapez weist auf den von der Decke her zuströmenden Drehimpuls hin. Die Artistin steigert danach ihre Drehzahl weiter, indem sie die Arme einzieht. Mit der Drehzahl nimmt auch ihre Rotationsenergie zu. Streckt sie ihre Arme wieder aus, rotiert sie weniger stark. Dabei bleibt der Drehimpuls erhalten und die Energie nimmt ab.
Trapeznummer Flüssigkeitsbild
Mechanische Vorgänge lassen sich oft im Flüssigkeitsbild darstellen. In diesem Bild erscheint der Drehimpuls als Flüssigkeit und die einzelnen Körper als Töpfe mit dem Trägheitsmoment als Grundfläche und der Winkelgeschwindigkeit als Füllhöhe.

In der ersten Phase pumpt der Artist Drehimpuls in seine Partnerin hinein. Den Drehimpuls entzieht er der Umgebung (letztendlich der Erde); die dazu notwendige Energie hat er selber aufzubringen. In der zweiten Phase "quetscht" die Artistin ihren Drehimpulsinhalt hoch, d.h. der Drehimpuls bleibt bei zunehmender Drehzahl erhalten. Die zusätzliche Energie hat die Artistin selber aufzubringen.

Die Trapezkünstlerin bildet ein System, in dem Energie umgeladen wird. Die Rotationsenergie ist deshalb nicht gleich der Arbeit des einwirkenden Drehmoments. Die Artistin kann die Rotationsenergie ohne Einwirkung eines Drehmoments vergrössern (Arme anziehen) oder verkleinern (Arme seitlich ausstrecken).

Rotierende Körper, die ihre Drehzahl bei ungefähr konstanter Drehzahl durch das radiale Verschieben von Masse ändern, findet man im Sport und im Tierreich. Beispiele sind
  • die Pirouette im Eiskunstlauf
  • die Katze, die immer auf die Füsse fällt
Modell: Nachfolgend das Systemdiagramm (flowchart) und die Gleichungen des systemdynamischen Modells der Artistin.
Trapezkünstlerin Systemdiagramm
{Reservoirs}
d/dt (L) = + M - Mr
INIT L = 0 {kg*m^2/s}
d/dt (phi) = + omega
INIT phi = 0 {rad}

{Flows}
M = M0* SQUAREPULSE(0, Drehzeit) {Nm}
Mr = 1/2* cw * Armradius^3 * Armquerschnittsflaeche * abs(w) * w {Nm}
omega = L/Jges {1/s}

{Functions}
JArmeVar = 0.4 * cos(2* pi/Armschwingzeit * TIME) + 0.6
Jges = JRumpfBeine+ JArmeVar {kg*m^2}
Frequenz = omega/(2*pi) {1/s}
Wrot = 1/2*Jges*omega^2 {J}
cw = 1.3
M0 = 40 {Nm}
phiMod = mod(phi,(2*pi))
Drehzeit = 1 {s}
Mges = M-Mr
JRumpfBeine = 0.6 {kg*m^2}
Armschwingzeit = 10 {s}
Armradius = 0.15 * cos(2*pi/Armschwingzeit * TIME) + 0.35 {m}
Armquerschnittsflaeche = 0.1*0.6 {m^2}


Simulation: Das erste Diagramm zeigt den Verlauf des resultierenden Drehmoments (rote Kurve). Das total einwirkende Drehmoment, das gleich der Änderungsrate des Drehimpulses ist, ergibt sich aus der Einwirkung ihres Partners und dem Luftwiderstand. Die schwarze Kurve zeigt den Verlauf des Drehimpulses (Zeitintegral der roten Kurve). Das zweite Diagramm stellt den Verlauf des Trägheitsmoments (rote Kurve) und der Drehzahl (schwarze Kurve) in Funktion der Zeit dar.
Trapzekünstlerin Drehmoment Drehimpuls
Trapzekünstlerin Umdrehungsgeschwindigkeit Trägheitsmoment


Download des Modells: Trapezkünstlerin
Kondensatormikrophon

Das Kondensatormikrophon nutzt die durch den Schalldruck verursachte Änderung der Kapazität eines Kondensators, um den Ton von der Luft auf einen elektrischen Stromkreis umzuladen. Das Mikrophon besteht im wesentlichen aus einer hauchdünnen, elektrisch leitfähig gemachten Folie, die mit wenig Abstand straff über eine Metallplatte gespannt ist. Folie und Metallplatte bilden die beiden Teile des Kondensators. Der auftreffende Schall bringt die Folie zum Schwingen, womit sich der Abstand zwischen Folie und Metallplatte und somit auch die Kapazität des Kondensators ändert.

Kondensator mit Hydraulik
Das Kondensatormikrophon bilden wir nun in einem einfachen Modell nach, um die Arbeitsweise einer Speicherkopplung zu Untersuchen. Das Modell besteht aus den beiden Platten des Kondensators mit der Fläche A im Abstand s. Die eine Platte sei unbeweglich und elektrisch mit der Erde verbunden. Der Raum zwischen den Platten ist mit einer idealen, elektrisch unwirksamen Flüssigkeit (Fluid) gefüllt. Damit die Flüssigkeit nicht ungehindert weg fliessen kann, muss dieser Zwischenraum mit einem Faltbalg, der sich zwischen den Kanten der beiden Platten erstreckt, abgedichtet sein.

Wird der Kondensator geladen, ziehen sich die Platten gegenseitig an, womit der Druck steigt oder die Flüssigkeit weg fliesst. Pumpt man mehr Flüssigkeit in den Zwischenraum hinein, werden die Platten auseinander gedrückt, womit entweder die Spannung steigt oder Ladung von der Platte weg fliesst. Das systemdynamische Modell besitzt einen hydraulischen und einen elektrischen Anschluss. Am hydraulischen Anschluss können Druck und Volumenstrom, am elektrischen Port Potenzial und elektrischer Strom gemessen werden.
Dieses Modell erlaubt die Durchführung von vier Basisprozessesn
  • isochores Laden oder Entladen: hydraulischer Anschluss ist blockiert, Druck steigt an oder sinkt ab
  • isobares Laden oder Entladen: hydraulischer Anschluss ist mit der Umgebung verbunden, Volumen fliesst heraus und hinein
  • iselektrisches Expandieren oder Komprimieren: elektrischer Anschluss ist blockiert, Spannung steigt oder sinkt
  • isopotentes Expandieren oder Komprimieren: elektrischer Anschluss hängt an einer Spannungsquelle, Ladung fliesst weg oder zu
Um diese vier Prozesse im Modell zu simulieren, muss man wissen, wie Druck und Potenzial mit Volumen und elektrischen Ladung zusammenhängen. Diese Idee wollen wir hier nicht weiter verfolgen. Zweck dieses technisch kaum zu realisierenden Geräts ist nur, zu zeigen, dass es auch ausserhalb der Thermodynamik Speicher gibt, in denen die Energie von einem Träger auf einen andern umgeladen werden kann. Solche Analogien sind oft hilfreich, um die Struktur einer Theorie besser zu verstehen.


Carnotor

Die Modelle der Trapezkünstlerin und des Kondensatormikrophons bestehen im Kern aus einem Speicher für Drehimpuls bzw. elektrische Ladung. Die zugehörigen Potenziale (Winkelgeschwindigkeit bzw. Spannung) verändern sich aber aus zwei Ursachen
  1. durch Zu- oder Abfuhr von Drehimpuls bzw. elektrischer Ladung
  2. durch Veränderung des Massenträgheitsmoments bzw. der elektrischen Kapazität
Das Flüssigkeitsbildes erklärt das dynamische Verhalten beider Systeme in all seinen Facetten.

Nun darf das Kondensatormikrophon, wie im letzten Abschnitt gezeigt, als Speicher mit einem elektrischen und einen hydraulischen Port modelliert werden. Ein homogener Stoff verhält sich analog, falls man sein thermisch-mechanisches Verhalten mit Hilfe des Carnotors beschreibt. Der Carnotor tauscht Entropie und Volumen mit der Umgebung aus und die zugehörigen Potenziale, Temperatur und Druck, hängen sowohl von der Entropie als auch vom Volumen ab.

Das untenstehende Systemdiagramm zeigt das Modell des Carnotors. Im Gegensatz zu den Modellen, die wir im Teilmodul Carnotor diskutiert haben, sind hier der hydraulische und der thermische Teil der Maschine über die Funktionen p(S,V) und T(S,V) miteinander vernetzt. Weil die zugehörigen Abhängigkeiten je nach Stoff verschieden sein können, sind hier noch keine Stoffgesetze (konstitutive Gleichungen) eingebaut worden. Dies erklärt die beiden Fragezeichen im Systemdiagramm.

Carnotor allgemein
Wärmespeicher

Carnotor Enthalpie
Wir verbinden den hydraulischen Anschluss des Carnotors direkt mit der Umgebung oder mit einem sehr grossen Behälter, damit der Druck konstant bleibt. Die zusammen mit der Entropie ausgetauschte Energie ist dann gleich der Änderung der inneren Energie plus die Expansionsarbeit. Wie schon gezeigt worden ist, entspricht dies gerade der Änderung der Enthalpie
  • Die Wärme(energie) ist gleich der Änderung der Enthalpie, falls der Druck konstant gehalten wird
I_{W_{th}}=\dot H

W_{th}=\Delta H


Geht man davon aus, dass die Temperatur an der Oberfläche gleich gross wie im Innern des Stoffes ist (Modell des homogenen Systems), wird innerhalb des Systems keine Entropie erzeugt. Die Entropiebilanz nimmt deshalb eine einfache Gestalt an

I_ S=\dot S

Eine Multiplikation mit der absoluten Temperatur ergibt links den thermischen Energiestrom (Wärmestrom) und rechts die Änderungsrate der Enthalpie

I_{W_{th}}=TI_S=T\dot S=\dot H

Daraus folgt der Zusammenhang zwischen der Änderungsrate der Entropie mit der Änderungsrate der Enthalpie eines Systems

\dot S=\frac {\dot H}{T}

oder nach einer Multiplikation mit dem Zeitschritt dt

dS=\frac{dH}{T}

Mit Hilfe dieser Beziehung lässt sich aus der gemessenen Enthalpieänderung die Entropieänderung berechnen.
Flüssigkeiten

Energiebetrachtung

Heizt man eine Flüssigkeit bei konstantem Druck, steigt die Temperatur in guter Näherung proportional mit der thermisch zugeführten Energie (Wärme). Den Proportionalitätsfaktor nennt man Wärmekapazität C, obwohl Wärme als Austauschform der Energie definiert ist (eigentlich müsste man die Wärmekapazität als Enthalpiekapazität bezeichnen)

C=\frac{dH}{dT}

Weil die Wärmekapazität von der Grösse des Speichers abhängt, zerlegt man sie in eine spezifische oder eine molare Wärmekapazität

c =\frac 1m \frac{dH}{dT} oder \hat c=\frac 1n \frac{dH}{dT}

Geht man von einer temperaturunabhängiger Kapaziät aus, ist die Enthalpieänderung einfach zu berechnen

\Delta H=mc\Delta T=n\hat c\Delta T

Wasser, das für das Leben auf der Erde zentrale Element, hat eine spezifische Wärmekapazität von ungefähr 4.2 kJ/(kgK). Dieser Wert liegt der Einheit Kilokalorie zugrunde (1 kcal = 4'186 J).

Entropiebetrachtung

Falls die Enthalpie eines Stoffes proportional mit der Temperatur zunimmt, wächst die Entropie logarithmisch. Dies folgt unmittelbar aus dem Entropie-Enthalpie-Zusammenhang

dS=\frac{dH}{T}=mc\frac{dT}{T}

Eine beidseitige Integration liefert dann

S=S_0+mc\ln\left(\frac{T}{T_0}\right)

Löst man diese Funktion nach der Temperatur auf, erhält man ein exponentielles Wachstum

T=T_0 e^{\frac{\Delta S}{mc}}

Integriert man die Temperatur über die Entropie, erhält man die Änderung der Enthalpie. Die Enthalpieänderung ist gleich der bei konstantem Druck ausgetauschten Wärme. Halten wir also nochmals fest, dass
  • die Fläche unter der Kurve im T-S-Diagramm der Wärme entspricht

Aufgabe: 20 Liter Wasser werden bei Normaldruck von 0° auf 100°C erwärmt.
  1. Um wie viel nimmt die Enthalpie des Wasser zu?
  2. Um wie viel nimmt die Entropie des Wassers bei der Erwärmung von 0°C auf 1°C bzw. von 99°C auf 100°C zu?
Lösung: Enthalpie- und Entropieänderung können mit den oben gegebenen Formeln berechnet werden, weil die Wärmekapazität des Wassers nahezu konstant bleibt. Zudem sind 20 Liter ziemlich genau 20 Kilogramm.
  1. Enthalpiezunahme: \Delta H=mc\Delta T = 8.38 MJ
  2. Die Entropieänderung pro Kelvin nimmt mit zunehmender Temperatur ab: \Delta S=mc\ln\frac{T_2}{T_1} = 306 J/K bzw. 225 J/K
Gase

Gase können bei konstantem Volumen (isochor) oder bei konstantem Druck (isobar) erwärmt werden. Im ersten Fall ist die zugeführte Wärme gleich der Änderung der inneren Energie

isochores Heizen W_{therm}=\Delta W=mc_V\Delta T=n\hat c_V\Delta T

Im zweiten Fall ist die zugeführte Wärme gleich der Änderung der Enthalpie

isobares Heizen W_{therm}=\Delta H=mc_p\Delta T=n\hat c_p\Delta T

Die Grösse cp nennt man spezifische (bzw. molare) Wärmekapazität bei konstantem Druck, die Grösse cV heisst spezifische (bzw. molare) Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Spezifische (bzw. molare) Enthalpie- und Energiekapazität wären die angemesseneren Begriffe, sind aber kaum in Gebrauch.

isochor
isobar

Hängen die beiden Wärmekapazitäten nicht von der Temperatur ab, gelten die gleichen Überlegungen wie bei den Flüssigkeiten. Die Entropieänderung ist beim isochoren Heizen gleich

\Delta S=n\hat c_V\ln\frac{T_2}{T_1}=mc_V\ln\frac{T_2}{T_1}

und beim isobaren Heizen

\Delta S=n\hat c_p\ln\frac{T_2}{T_1}=mc_p\ln\frac{T_2}{T_1}

Die Wärmekapazität bei konstantem Druck cp ist grösser als die Wärmekapazität bei konstantem Volumen cV. Dafür können zwei Gründe angeführt werden
  • Energieargument: Wird bei konstantem Druck geheizt, bleibt nur ein Teil der Energie im Gas (Erhöhung der inneren Energie). Der Rest geht in Form von Expansionsarbeit an die Umgebung weg. Heizt man bei konstantem Volumen, bleibt die ganze Energie im Gas.
  • Entropieargument: Wird bei konstantem Druck geheizt, nehmen gleichzeitig die manifeste (temperaturmässige) und die latente (volumenmässige) Entropie des Gases zu. Heizt man bei konstantem Volumen, dient die zugeführte Entropie allein der Temperaturerhöhung.
Der Zusammenhang zwischen den beiden Wärmekapazitäten wird in den Teilmodulen ideales Gas und Thermodynamik ausführlicher dargelegt.
Festkörper

Flüssigkeiten und Gase weisen oft eine nahezu konstante Wärmekapazität auf. Anders bei Festkörpern. Senkt man die Temperatur sehr stark ab, wird auch die Wärmekapazität kleiner.

Debeye und Einstein
Relative Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers in Funktion der relativen absoluten Temperatur gemäss den Modellen von Einstein und Debeye.
Das thermische Speichervermögen einfacher Festkörper lässt sich mit Hilfe der Quantenmechanik berechnen. Man gibt dann meist die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen in Funktion der Temperatur an. Dividiert man diese Materialeigenschaft durch die absolute Temperatur, erhält man die molare Entropiekapazität

\hat c_{S_V}=\frac{\hat c_V}{T}

Eine Integration über die Temperatur liefert die molare Entropie in Abhängigkeit der Temperatur

\hat s_{V_1}=\hat s_{V_0}+\int_{T_0}^{T_1} \frac{\hat c_V}{T}dT

Das für die Thermodynamik zentrale T-s-Diagramm stellt die zugehörige Umkehrfunktion dar (s steht für spezifische Energie). Aus dem T-s-Diagramm kann neben der Entropie (direkt) auch die spezifische Energie (Fläche unter der Kurve) heraus gelesen werden.

Fassen wir diese Schritte nochmals zusammen
  1. Theorie liefert cV(T)
  2. Eine Division durch die absolute Temperatur ergibt cSV(T)
  3. Aus der Integration über die Temperatur folgt die s-T-Funktion (s-T-Diagramm)
  4. Die Umkehrfunktion liefert das T-s-Diagramm
  5. Die Fläche unter dem T-s-Diagramm entspricht der Änderung der (spezifischen) inneren Energie.
Festkörper werden in der Regel bei konstantem Druck und nicht bei konstantem Volumen erwärmt. Folglich muss mit der Wärmekapazität bei konstantem Druck und nicht mit der Wärmekapazität bei konstantem Volumen gerechnet werden. Wie aus der einen Kapazität die andere berechnet wird, kann im Kapitel Thermodynamik nachgelesen werden.
schmelzen und erstarren

Erwärmt man einen festen Stoff, geht dieser bei der so genannten Schmelztemperatur Ts in den flüssigen Zustand über. Dieser Übergang nimmt eine gewisse Zeit in Anspruch, weil zum Schmelzen ziemlich viel Entropie und Energie zugeführt werden müssen. Die zuzuführende Energie nennt man Schmelzenthalpie, weil die Wärme (Zufuhr) der Enthalpieänderung entspricht. Die Schmelzenthalpie eines homogenen Stoffes ist proportional zur Masse bzw. zur Stoffmenge

\Delta H=mq=n\hat q

q nennt man spezifische Schmelzenthalpie, \hat q molare Schmelzenthalpie. Die spezifische Schmelzenthalpie von Wasser beträgt 334 kJ/kg.

Der thermisch zugeführte Energiestrom, der Wärmestrom, ist gleich Entropiestrom mal herrschende Temperatur. Dieser fundamentale Zusammenhang lässt sich direkt auf die Speichergrössen übertragen

\Delta S=\frac{\Delta H}{T_s}=\frac{mq}{T_s}=\frac{n\hat q}{T_s}

Aufgabe: Fünfzehn Liter Wasser von 0°C sollen in ein Stück Eis umgewandelt werden. Wie viel Energie muss dazu mindestens aufgewendet werden, wenn die Umgebung 25°C warm ist.

Lösung: Wasser muss Energie abgeben, damit es gefriert. Doch das ist nicht das Problem. Dem Wasser muss primär Entropie entzogen werden. Und diese Entropie ist mittels einer Wärmepumpe an die Umgebung abzuführen. Wir lösen nun die Aufgabe in zwei Schritten
  1. Ermittlung der abzuführenden Entropie: \Delta S=-\frac{mq}{T_s} = -18.35 kJ/K
  2. Berechnung der aufzuwendenden Energie: W=S_{pump}\Delta T = 459 kJ
Das Wasser gibt 5 MJ Energie in Form von Wärme ab. Wir müssen zusätzlich mindestens 459 kJ Energie aufwenden, um die Entropie des Wassers an die Umgebung abgeführt wird. Anhand dieses Beispiels lässt sich gut zeigen, wie wichtig die Unterscheidung zwischen zugeordnetem Einergiestrom und Prozessleistung für das Verständnis ist. Der zugeordnete Energiestrom geht in die Buchhaltung eines Systems, in die Bilanz, ein; die Prozessleistung beschreibt dagegen, wie viel Energie pro Zeit von einem Strom (z.B. vom Entropiestrom) aufgenommen bzw. freigesetzt wird.
verdampfen und kondensieren

Heisser Dampf ist um einiges gefährlicher als siedendes Wasser. Trifft Dampf auf die Haut, muss er zuerst zu Wasser kondensieren, bevor die Temperatur sinkt. Vergleicht man nun die Wärme, die der Dampf beim Kondensieren abgibt, mit dem Wert, den man dem dabei entstandene Wasser entziehen muss, damit es auf 37°C abkühlt, sieht man den Unterschied recht deutlich. Bezüglich einer Dampfmenge von 50 g gilt
  • kondensieren: W_{therm}=\Delta H=-mr = -113 kJ
  • abkühlen: W_{therm}=\Delta H=mc\Delta T = -13.2 kJ
Hier darf wieder mit der Enthalpieänderung gerechnet werden, weil die Prozesse bei konstant gehaltenem Druck ablaufen. Die spezifische Verdampfungsenthalpie r beträgt für Wasser bei Normaldruck 2256 kJ/kg.

Die beim Verdampfen zuzuführende und beim Kondensieren abzuführende Entropie berechnet sich analog zur Entropie beim Schmelzen und Erstarren

\Delt S=\frac{mr}{T_v}=\frac{n\hat r}{T_v}

r ist die spezifische Verdampfungsenthalpie, \hat r die molare. Je höher die Verdampfungs- oder Siedetemperatur Tv liegt, um so grösser ist das Verhältnis von Enthalpie- zu Entropieänderung.

Die Verdampfungstemperatur hängt stark vom Druck ab. Je grösser der Druck, desto höher die Verdampfungstemperatur. Weil mit zunehmender Verdampfungstemperatur auch noch die Verdampfungsenthalpie abnimmt, vermindert sich die zugehörige Entropie entsprechend stärker.

Druck
Verdampfungstemperatur
spez. Verdampsungsenthalpie
spez. Verdampsungsentropie
0.04 bar
28.96 °C
2554 kJ/kg
8052 K/(kg K)
0.4 bar
75.78°C
2319 kJ/kg
6644 K/(kg K)
4.0 bar
143.6 °C
2133 kJ/kg 5119 K/(kg K)
40 bar
250.4 °C
1714 kJ/kg 3274 K/(kg K)

Zusammenfassung

Elementarspeicher tauschen nur eine mengenartige Grösse mit der Umgebung aus. Ihr Energieinhalt hängt deshalb nur vom aktuellen Füllzustand (Potenzial) ab.

Das Potenzial linearer Elementarspeicher nimmt proportional zur gespeicherten Menge zu. Folglich wächst die gespeicherte Energie quadratisch mit dem Potenzial (\varphi) oder der Menge (M)

W=M \frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}

Mit CM wird hier die Kapazität der entsprechenden Menge bezeichnet.

Homogene Stoffe sind keine Elementarspeicher bezüglich der Menge Entropie. Stoffe können sowohl Entropie austauschen als auch ihr Volumen ändern. Sorgt man aber dafür, dass der Druck konstant bleibt, dürfen auch homogene Stoffe als thermische Elementarspeicher betrachtet werden. Die Wärme (thermisch ausgetauschte Energie) ist dann gleich der Änderung der Enthalpie.

Das Diagramm zeigt die molare Enthalpie von Wasser in Funktion der Temperaturen unter verschiedenem Druck, wobei die Enthalpie des flüssigen Zustandes bei 0°C willkürlich gleich Null gesetzt worden ist.

h-T-Diagramm von Wasser
Will man nun die Enthalpie von Dampf (gasförmiges Wasser) in einem bestimmten Zustand rechnen, folgt man der entsprechenden Kurve oder rechnet die Enthalpieänderung Schritt für Schritt nach

H=m\left(c(T_v-T_s)+r+c_p(T-T_v)\right)=n\left(\hat c(T_v-T_s)+\hat r+\hat c_p(T-T_v)\right)

Die Stoffwerte (Wärmekapazitäten und Verdampfungsenthalpien) müssen beim jeweiligen Druck bekannt sein.

Das zweite Diagramm zeigt die molare Entropie von Wasser in Funktion der Temperaturen unter verschiedenem Druck, wobei die Entropie des flüssigen Zustandes bei 0°C willkürlich gleich Null gesetzt worden.
s-T-Diagramm von Wasser
Im Gegensatz zur Enthalpie nimmt die Entropie des Wassers oder des Dampfs nicht proportional zur Temperatur zu. Zudem enthält der Wasserdampf bei kleinerem Druck mehr Entropie, weil das Volumen grösser ist. Will man nun die Entropie von Dampf in einem bestimmten Zustand rechnen, folgt man der entsprechenden Kurve oder rechnet die Änderung der Entropie Schritt für Schritt nach

S=m\left( c\ln{\frac{T_v}{T_s}}+\frac {r}{T_v}+c_p\ln{\frac{T}{T_v}}\right)=n\left( \hat c\ln{\frac{T_v}{T_s}}+\frac {\hat r}{T_v}+\hat c_p\ln{\frac{T}{T_v}}\right)

Die Stoffwerte (Wärmekapazitäten und Verdampfungsenthalpien) müssen beim jeweiligen Druck bekannt sein.